人字齿同步带接触区内带齿的受力计算
人字齿同步带接触区内带齿的受力
今天对人字齿同步带整个接触区内各带齿进行受力进行分析时有以下三点假设：
（1）带包绕于带轮上时，带齿受力不产生弯曲变形，且忽略带齿的弹性变形。（2）忽略传动时离心力的作用。
（3）为了便于分析，将带齿所受的法向载荷等效简化为集中力。
分析第k 号带齿完全啮入轮齿时的受力情况，取k 号带齿为分离体，带齿上作用有紧边拉力Fk -1 ，与节圆切线夹角为g k ；轮齿对带齿的法向集中作用力为Qk ，与
O 点切线的夹角为 an ；松边拉力 Fk ，与切线夹角为 bk ；带齿顶所受轮齿槽的正压力Nk ；带齿顶所受的摩擦力Ffk 以及带齿工作齿廓所受的摩擦力fk ，摩擦系数为m ；
带齿受到以上各力而处于平衡状态，可得到第k 号带齿的受力平衡方程式。
柔性材料的同步带与刚性材料的带轮啮合时，带齿与轮齿不可避免产生干涉，
干涉量s k 可有如下规定：
当带齿与带轮在紧边接触时，带齿从初始位置向紧边伸长，sk > 0 。
当带齿与轮齿不接触使，带齿不变形，sk = 0 。
当带齿与轮齿在松边接触时，带齿从初始位置向松边伸长，sk < 0 。
带齿与轮齿不接触的状态，是带齿不工作时的状态，本文不予深入讨论。图2-6 表示当带齿干涉量sk > 0 时带齿的受力，静力平衡方程式表示如下：
各力在带轮节圆切线方向上的投影： | ||
Fk -1 cos g k - Fk cos b k - Qk cos a n + Ffk + f k sin an | = 0 | (2-8) |
各力在带轮节圆径向上的投影： | ||
Fk -1 sin g k + Fk sin b k - Qk sin a n - N k - fk cosan | = 0 | (2-9) |
图2-7 表示当带齿干涉量sk < 0 时带齿的受力，静力平衡方程式表示如下：各力在带轮节圆切线方向上的投影：
Fk -1 cos g k - Fk cos b k + Qk cos a n + Ffk - f k sin an = 0 | (2-10) |
各力在带轮节圆径向上的投影： | |
Fk -1 sin g k + Fk sin b k - Qk sin a n - N k - fk cosan = 0 | (2-11) |
第k 号带齿的紧边拉力与带轮节圆切线的夹角为g k ，松边拉力与带轮节圆切线夹角为bk ，由于两个夹角本身数值很小，特别是取正弦和余弦时，两个夹角度之间
又只有很细微的差别，在同步带与带轮啮合时，这一差别可忽略不计，两角均可近似为角q ，q 为带齿齿厚所对在带轮节圆上中心角的一半，且q = pl zp b 。带轮齿数
为z ，节距为pb ，带轮直径为RC 。
由于新型人字齿同步带齿的齿顶圆弧较小，与带轮齿槽的接触面积有限，因此在实际计算中，可以忽略带齿齿顶摩擦力对啮合传动的贡献，即Ffk » 0 ，静力平衡
方程式可以得到进一步的简化。经由以上分析可得简化后的静力平衡方程式。当带齿干涉量sk > 0 时带齿的受力，简化的静力平衡方程式表示如下：
各力在带轮节圆切线方向上的投影：
Fk -1 cosq - Fk cosq - Qk cosa n + fk sin an = 0 | (2-12) | ||
各力在带轮节圆径向上的投影： | |||
Fk -1 sinq + Fk sinq - Qk sin a n - N k | - fk cosan | = 0 | (2-13) |
当带齿干涉量sk < 0 时带齿的受力，简化的静力平衡方程式表示如下： | |||
各力在带轮节圆切线方向上的投影： | |||
Fk -1 cosq - Fk cosq + Qk cosa n - fk sin an = 0 | (2-14) | ||
各力在带轮节圆径向上的投影： | |||
Fk -1 sinq + Fk sinq - Qk sin a n - N k | - fk cosan | = 0 | (2-15) |
本文所讨论带齿及强力层的应力均采用基尔霍夫（Kirchhoff）应力，它是以变形前得状态为基准，与变形历史无关，，等于带所受外力除以受力的截面积。
2.2.3 带齿变形量的计算
新型人字齿同步带啮合传动时，实际上带齿各部分绕到带轮上时，都会发生变
形。第k 号带齿在拉力Fk 的作用下带齿槽与带齿齿部的端面变形如图2-8 所示。设第k 号带齿的端面节距由pt 伸长为pt + Dpt ，第k 号和第k +1 号带齿的拉力分别为
Fk 和 Fk +1 ，带轮对带齿的载荷分别为 Qk 和 Qk +1 ，带齿顶与带轮齿槽之间的摩擦力分
别为Ffk 和Ffk +1 ，此时带的挠曲变形量分别为Dlk 和Dlk +1 ，带齿谷部的伸长量为DSk ，带齿齿部的伸长量为Dlk [31]。
带齿节线处的伸长量Dpt 可由下式表示：
带齿的挠曲变形量可由下式表示： | ||
Dpt = Dlk | - Dlk +1 | (2-17) |
故由式(2-16)和式(2-17)可得到下式： | ||
DS k + Dlk = Dlk | - Dlk +1 | (2-18) |
接下来讨论带齿各部分的变形量。由于带齿高于带轮齿，因此带齿槽与带轮齿顶无接触或接触力很小，他们之间没有摩擦力作用或者很小。人字齿同步带由于螺旋角b 的存在，带齿谷部的伸长量DSk 为：
D S k = | Fk cos b | × Sb | (2-19) |
AE
式中A ——带的谷部断面面积；
E ——带强力层的弹性模量；
Sb ——端面上带齿谷部的长度。
带齿齿部的伸长量需要分以下两种情况处理。
当带齿啮合干涉量sk > 0 时： | ||||||
D l k | = | Fk cos b | ×l | (2-20) | ||
AE | ||||||
当带齿啮合干涉量sk < 0 时： | ||||||
Dlk | = | Fk -1 cos b | ×l | (2-21) | ||
AE | ||||||
式中 l ——端面上带齿齿部的长度。
第k 号和第k +1 号带齿的挠曲变形量分别为Dlk 和Dlk +1 ，可用下式表示：
Dlk = f R (Qk cos ¶ n + Nk ) | (2-22) |
Dlk +1 = f R (Qk cos ¶ n + Nk +1 ) | (2-23) |
式中f R 是与带齿挠曲变形有关的比例常数，即带齿的柔度，与带齿部的材料和带齿结构有关，与带齿所受载荷大小无关[32]。由于新型人字齿同步带尚未有实验确定此参数，因此实际选用中需参照其他带型。氯丁橡胶L 型f R = 0.32e-0.096 bcos b ；氯丁橡胶 H 型 f R = 0.18e-0.096 bcos b ；聚氨酯橡胶 L 型 f R = 0.16e-0.11bcos b ， b 为带宽， b 为人
字齿带的螺旋角。
今天我们讨论的带齿及强力层的应变，采用格林（Green）应变，它与基尔霍夫应力相对应，即也以变形前的状态为基准。
